判斷矩陣是否為正定矩陣有兩種方法：找出A的所有特征值。如果A的特征值為正，則A為正；如果A的特征值為負，則A為負；計算A的主要類型。如果A的主要類型大于零，則A為正；如果A的主要類型為負，則A為負。

一、正定矩陣的基本定義

1、廣義定義

M是n階方陣，任何非零向量z都有zMz>其中z表示z的轉(zhuǎn)移，稱為M正定矩陣。

例如:Bn階矩陣，E單位矩陣，a為正實數(shù)。aE B當a足夠大時，aE B正定矩陣。(B必須是對稱陣)

2、狹義定義

n階實對稱矩陣M是正定條件，只有對于所有非零實系數(shù)向量z，才有zMz>0。其中z表示z的轉(zhuǎn)置。

二、特征及性質(zhì)

判斷定理1：對稱陣A是正定的充分必要條件：A特征值全為正。

判斷定理2：對稱陣A是正定的充分必要條件：A各階順序主子式為正。

判斷定理3：任意陣A是正定的充分必要條件：A單位陣合同。

正定矩陣的性質(zhì)：

任何正定矩陣的主子矩陣也是正定矩陣。

如果A是n階對稱正定矩陣，那么唯一的主對角線元素是正下三角L，使A=L*L′楚列斯基，這種分解被稱為正定矩陣(Cholesky)分解。

若A為n階正定矩陣，則A為n階可逆矩陣。

（編輯：張老師）

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